Het monster van Graham

Toen ik klein was had ik een fascinatie voor grote getallen. Wellicht omdat ik op mijn bankrekening nooit grote getallen zie staan is die fascinatie gebleven.

Lichtjaar

Wat bedoel ik met een groot getal? Een lichtjaar is een mooi voorbeeld: 9.460.730.472.581 kilometer, de afstand die licht in één jaar aflegt. Nou is het getal negen biljoen vierhonderdzestig miljard zevenhonderddertig miljoen vierhonderdtweeënzeventigduizend vijfhonderdeenentachtig niet erg lekker om uit te spreken als je een rondje bier wil bestellen, dus vinden veel mensen het prettig om het wat simpeler op te schrijven door een exponent te gebruiken: 9 x 1012. Zeg maar een negen gevolgd door twaalf nulletjes.

Googolplex

Maar het kan natuurlijk veel groter. Zo bedacht een negenjarig knulletje enkele decennia geleden het getal googol: 10100, een één gevolgd door honderd nullen. Een getal groter dan het aantal deeltjes in het heelal. En wat te denken van googolplex, 10googol, oftewel een één gevolgd door een googol nullen? Als je dat getal zou willen uitschrijven, kun je maar beter vast wat pallets gebleekt A4 bestellen: je begint met een 1, en vervolgens moet je op elk atoom in het universum een triljoen nulletjes zien te krabbelen. Iets voor een regenachtige zondagmiddag.

Een getal als googolplex gaat alle voorstellingsvermogen te boven. Het heeft (net als een clownsneus tijdens een sollicitatiegesprek) buiten een grappige verschijning geen directe praktische waarde. Zulke getallen zijn enkel wiskundige spierballentaal. Toch?

Graham

Maar dan verschijnt de reus der reuzen ten tonele. Een getal waar googolplex compleet en volledig bij in het niet valt. Een getal dat zo groot is dat het op geen enkele manier voorstelbaar is voor de menselijke geest. Het gebruik van exponenten (of zelfs torens van exponenten) is volstrekt zinloos om dit getal ook maar enigszins te benaderen. De naam van dit monster is het getal van Graham, en wordt gebruikt als deel van een oplossing in een wiskundig vraagstuk. Er is zelfs een bijzondere notatie voor nodig om dit getal uit te drukken: de pijlomhoognotatie.

Waar vermenigvuldigen niets anders is dan herhaald optellen, en machtsverheffen niets anders dan herhaald vermenigvuldigen, wordt de pijlomhoognotatie gebruikt voor herhaald machtsverheffen.

Dus:

knuth

Het toevoegen van één pijltje vergroot de uitkomst dus al monstrueus. 3↑3 = 27, maar 3↑↑↑3 is al vele malen groter dan zelfs 10googolplex. Maar het is nog láng niet zo groot als het getal dat we G1 noemen, de eerste trap van de benadering van Graham’s getal:

G1 = 3↑↑↑↑3

De uitkomst van deze som bepaalt het aantal pijltjes in wat we G2 noemen, de tweede trap in de benadering van deze cijferreus.

G2 = 3↑↑↑…(G1)…↑↑↑3

De uitkomst hiervan vormt weer het aantal pijltjes in G3, enzovoorts.

Het getal van Graham is G64.

Als ik hier over na probeer te denken, heb ik geen drank meer nodig. En voor wie geïnteresseerd is, Graham’s getal eindigt op …87. Dat is dan ook de enige overeenkomst met het getal op mijn bankrekening.

Deze column werd ook gepubliceerd op Kaf.