Eén van mijn heimelijke genoegens is om puzzels op te lossen. Ik doel dan niet op de legpuzzels waarbij je na 998 stukjes te hebben gelegd ziet dat er nog maar één stukje in de doos ligt. Ik bedoel van die raadseltjes over personen die Alice, Bob en Charlie heten, over rode en blauwe ballen in een doos, en de prijs van kippen op de markt.
Een puzzeltje
Van mijn broer kreeg ik met Kerst een aardig boekje vol met dit soort puzzels. Vandaag heb ik, toevallig samen met genoemde broer, zitten tandenknarsen op een raadsel waarbij elke logische aanpak ons in de steek leek te laten. Komt ie.
Honderd theaterfanaten staan in de rij om een schouwburgzaal met honderd stoelen binnen te gaan. De eerste gast blijkt echter haar ticket kwijt te zijn, dus gaat ze in een willekeurige stoel zitten. Vervolgens gaat elke volgende gast in de voor hem of haar aangewezen stoel zitten, tenzij daar al iemand zit – in dat geval gaat hij of zij op een willekeurige andere plek zitten.
Vraag: wat is de kans dat de laatste gast in de aan hem toegewezen stoel kan zitten?
Heer, die in de hemel zijt…
De dag begon zo goed. Goed ontbijt, bakje koffie, puzzeltje. Wie had dit drama zien aankomen?
De sufferd die haar kaartje niet meer kon vinden – laten we haar A noemen – gaat op een willekeurige stoel zitten. Met een flinke stoot geluk kiest ze precies haar eigen stoel uit, een kans van 1 op 100. Niks aan de hand in dat geval, uiteindelijk zal de laatste theaterganger dan ook op z’n eigen stoel terechtkomen. Maar voor hetzelfde geld ploft A op de stoel van de onfortuinlijke laatste persoon in de rij, meneer Z – ook een kans van 1/100. Toch is de kans het grootst dat A op een willekeurige andere gast zijn of haar stoel terechtkomt: 98/100.
Tot dusver weten we dat de kans op een happy end al minstens 1/100 is: als A precies op haar eigen stoel plaats neemt. Mocht ze dat niet doen: geen paniek, iemand anders kan het probleem nog oplossen door op de plek te gaan zitten waar A had moeten zitten. Even diep ademhalen, en we gaan door.
…wees mij genadig…
Persoon B komt binnen. Mocht A toevallig net op zijn stoel zitten, heeft B nog 99 andere mogelijke plekken om uit te kiezen. Als B nu precies op de stoel gaat zitten die A op haar ticket had staan, zal meneer Z straks zijn geluk niet op kunnen. Dus, de kans dat A in eerste instantie niet op haar eigen stoel, én niet op de stoel van meneer Z kwam te zitten, én dat vervolgens meneer B op de originele stoel van A zou gaan zitten, is 98/100 x 1/99. In dit scenario loopt het ook goed af voor bezoeker Z straks. Dus deze kans moeten we even optellen bij de 1/100 die we al hadden: 1/100 + (98/100 x 1/99).
Maarja, de kans dat persoon B niet op de oorspronkelijke stoel van A gaat zitten is natuurlijk groot, 98/99 namelijk. En daar valt ook de stoel van meneer Z onder, de kans dat B daar zijn billen op laat rusten is 1/99.
En toen begon ik te zweten, want we zijn pas bij persoon twee van de honderd. De uiteindelijke beslissingsboom beloofde nog onnavolgbaarder te worden dan een speech over de uil van Minerva. Ik beschikte niet over genoeg papier om de opties uit te tekenen.
…omwille van het lijden…
Tijd om bovenstaand theaterdrama maar eens een keertje of 1000 te simuleren. Dan kun je aardig benaderen wat de kans op succes voor meneer Z nu eigenlijk is.
Tot mijn verbazing bleek de kans aardig dicht in de buurt bij 50% te komen. In de helft van alle mogelijke scenario’s krijgt de laatste gast die binnenkomt gewoon zijn eigen stoel.
… van onze Verlosser
Na verschillende uren van tekenen, uit het raam staren en elkaar de schuld geven van de veroorzaakte verwarring, was het mijn broer die besefte dat we met onze allereerste poging heel erg warm zaten.
Als mevrouw A binnenkomt, is de kans 1/100 dat ze op haar eigen stoel gaat zitten. Probleem opgelost voor meneer Z. De kans dat mevrouw A echter op de stoel van Z gaat zitten, is ook 1/100. Meneer Z kan dan zijn eigen zitplaats vergeten. In alle andere gevallen, 98 van de 100, wordt het probleem doorgeschoven naar de volgende persoon die binnenkomt. Daar geldt ook weer: de kans dat het probleem wordt opgelost door deze persoon is 1/99, de kans dat de stoel van Z wordt ingepikt is ook 1/99, en in 97/99 gevallen wordt het probleem weer doorgeschoven. Kortom, de kans op een succesvolle afloop blijft voor iedere binnenkomende gast precies even groot als de kans op een onsuccesvolle afloop – helemaal tot aan de laatste gast.
Wat een puzzel. Eentje met een vrij simpele oplossing, die je enkel ontdekt als je niet met de meest voor de hand liggende strategie begint. En als je even buiten beschouwing laat dat de meesten iemand direct uit hun stoel schoppen als ze daar zomaar gaan zitten. Zo zie je maar dat sommige op het eerste oog complexe zaken uiteindelijk gewoon een 50/50 uitkomst hebben. Waar zouden we met z’n allen nog meer onnodig over zitten te peinzen?